JavaScript 中数字的存储

首先提出如下问题：

• JS 中的小数运算是精确的吗？【不是】
• JS 中的整数运算是精确的吗？【不是】
• JS 中的整数运算是连续的吗？【不是】
• JS 中能表示的最小数字是多少？【Number.MIN_VALUE】
• JS 中能表示的最大数字是多少？【Number.MAX_VALUE】
• JS 中能表示的最大连续整数是多少？【Number.MAX_SAFE_INTEGER】
• JS 中能表示的数字的有效位数是多少？【16~17】

警告

最大连续整数是指向下连续且 +1 仍然连续，并非字面意义“最大”！

二进制

现实世界中，十进制共有十个数字，逢十进一。

而在计算机世界中，计算机只能识别电平的高低，因此诞生了只有 0 和 1 两个数字、逢二进一的二进制。

整数转换

二进制转十进制

1101 => $1\ast 2^3+1\ast 2^2+0\ast 2^1+1\ast 2^0=13$

11.01 => $1\ast 2^1+1\ast 2^0+0\ast 2^{-1}+1\ast 2^{-2}=3.25$

十进制转二进制

模	商	余
13 / 2	6	1
6 / 2	3	0
3 / 2	1	1
1 / 2	0	1

倒序取出余数拼接得到 13 转化为二进制为 1101。

模	商	余
3 / 2	1	1
1 / 2	0	1

因此，3 转化为二进制的整数部分，应倒序拼接为 11。

乘	积	小数部分
0.25 * 2	0.5	0
0.5 * 2	1.0	1

计算直到乘积的小数部分为 0 即可，顺序取出小数部分拼接，得到 .01。

所以，3 转化为二进制为 11.01。

为什么 JS 的小数运算不精确？

十进制的小数，转化为二进制之后，可能是无限小数。

比如，0.3 转化为二进制为 0.01 0011 0011 ...

但是，计算机对数字的存储能力有限，因此会丢失一些数据。

JS 如何存储数字？

计算机存储数字的方法

计算机存储数字一般有两种方法：整数法和浮点法。浮点法存放的数字，叫做 浮点数（float），浮点数分为单精度和双精度。

而 JS 中神奇的一点是 —— JS 中的整数也会用浮点法存储，这也解释了为什么 JS 中整数过大也会失去精度。

JS 在计算机中，给每一个数字开辟一块内存空间，尺寸固定为 64 位。

在计算机中，位（bit）是最小的存储单位。

1 byte = 8 bit

1KB = 1024 byte

1 MB = 1024 KB

1GB = 1024 MB

64 位被分为三段，分别有 1、11、52 位:

• 第一位是符号位，分别用 0 和 1 代表正数和负数。
• 第二段的 11 位，表示指数位。
• 最后的 52 位表示有效数字，即尾数。
• 最终数据是 $\pm 1.[\mathrm{有}\mathrm{效}\mathrm{数}\mathrm{字}]\ast 2^{\mathrm{指}\mathrm{数}\mathrm{次}\mathrm{幂}}$。

0   1000 0000 011   1111 0000 ...

相当于：$1.1111\ast 2^{1027-1023}$。

提示

1. 为了解决负数次幂的表示问题，引入了偏移量，第二部分应该减去 1023，因此得到上面的结果。
2. 指数部分共 11 位，因此可表示的数字个数为 2048。

特殊情况

1. 指数和尾数同时为 0 表示数字 0。
2. 符号为 0，指数为 2047，尾数为 0，表示正无穷（Infinity）。
3. 符号为 1，指数为 2047，尾数为 0，表示负无穷（-Infinity）。
4. 指数为 2047，尾数不为 0，表示 NaN。
5. 在 JS 中进行数值计算无法手动得到 NaN，数值计算当指数超出范围会自动清空尾数。
6. 一个正常的数字，指数部分最大为 2046 - 1023 = 1023。

能表示的最大数字

0   1111 1111 110   1111 1111 ...

相当于：$1.1111...\ast 2^{1023}$，也就是 Number.MAX_VALUE。

能表示的最大安全整数

根据之前的原理，尾数部分全部为 1 的时候取最大安全整数，此时指数部分结果为 52，值为 $2^{53}-1$，也就是 Number.MAX_SAFE_INTEGER。